پاسخ فعالیت صفحه 45 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی: این مسئله به دو روش مختلف قابل اثبات است. در هر دو روش، ابتدا اطلاعات داده شده (فرض) و چیزی که باید ثابت شود (حکم) را مشخص می‌کنیم. * **فرض (Hypothesis):** ۱. نقاط A, B, C, D روی یک نیم‌دایره به قطر AB قرار دارند. ۲. طول قطر $ AB = ۱۰ $ متر است. ۳. $ BC = ۶ $ متر. ۴. $ AD = ۶ $ متر. * **حکم (Conclusion):** $ AC = BD $ --- ### روش اول: استفاده از قضیه‌ی فیثاغورس **۱. اثبات قائم بودن زاویه‌ها:** یک قضیه‌ی مهم در هندسه بیان می‌کند که **هر زاویه‌ای که در یک نیم‌دایره محاط شده باشد، قائمه (۹۰ درجه) است**. در شکل، زاویه‌های $ \angle ACB $ (یا $ \hat{C} $) و $ \angle ADB $ (یا $ \hat{D} $) هر دو مقابل قطر $AB$ هستند و روی محیط نیم‌دایره قرار دارند. بنابراین هر دو زاویه $۹۰^\circ$ هستند. **۲. محاسبه‌ی طول AC:** مثلث $ACB$ یک مثلث قائم‌الزاویه است که وتر آن $AB=۱۰$ و یک ضلع قائمه‌ی آن $BC=۶$ است. با استفاده از قضیه‌ی فیثاغورس ($a^۲ + b^۲ = c^۲$) داریم: $ AC^۲ + BC^۲ = AB^۲ $ $ AC^۲ + ۶^۲ = ۱۰^۲ $ $ AC^۲ + ۳۶ = ۱۰۰ $ $ AC^۲ = ۱۰۰ - ۳۶ = ۶۴ $ $ AC = \sqrt{۶۴} = ۸ $ متر **۳. محاسبه‌ی طول BD:** مثلث $ADB$ نیز یک مثلث قائم‌الزاویه است که وتر آن $AB=۱۰$ و یک ضلع قائمه‌ی آن $AD=۶$ است. دوباره از قضیه‌ی فیثاغورس استفاده می‌کنیم: $ BD^۲ + AD^۲ = AB^۲ $ $ BD^۲ + ۶^۲ = ۱۰^۲ $ $ BD^۲ + ۳۶ = ۱۰۰ $ $ BD^۲ = ۶۴ $ $ BD = \sqrt{۶۴} = ۸ $ متر **۴. نتیجه‌گیری:** چون $AC=۸$ و $BD=۸$، پس $AC = BD$ و حدس ترانه و شهرزاد درست است. --- ### روش دوم: استفاده از هم‌نهشتی مثلث‌ها در این روش، هم‌نهشتی دو مثلث قائم‌الزاویه‌ی $ACB$ و $ADB$ را ثابت می‌کنیم. | مراحل اثبات | دلیل | | :--- | :--- | | ۱) $ BC = AD $ | **(ضلع)** طبق فرض مسئله، هر دو برابر ۶ هستند. | | ۲) $ AB = AB $ | **(وتر)** وتر مشترک هر دو مثلث است. | | ۳) $ \triangle ACB \cong \triangle ADB $ | به حالت هم‌نهشتی **وتر و یک ضلع (و ض)** در مثلث‌های قائم‌الزاویه. | | ۴) $ AC = BD $ | از هم‌نهشتی مثلث‌ها (در مرحله ۳)، نتیجه می‌شود که سایر اجزای متناظر آنها نیز با هم برابرند. |